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    注：本文只讨论最大堆排序，最小堆排序同理 一 . 堆   堆（heap）可以定义为一棵 完全 二叉树，并且这棵树的每一个节点都大于或等于它的子女节点。  最大堆长这样子： 堆的特性 一棵n节点的 完全 二叉树，其高度为$$\lfloor \log_{2}n\rfloor$$ 堆的每一个节点都大于等于它的子女节点。 可以用数组来实现堆。留空H[0]，然后在H[1]到H[n]中存在堆元素。留空H[0]的目的是为了让之后的堆排序更加的方便。 所有父母节点的键会在数组的前$$\lfloor n/2 \rfloor$$ 个位置中，而叶子节点会占据后面的$$\lceil n/2 \rceil$$个位置。 在数组中，对于每一个位于父母位置i的键来说，它的子女会位于2i和2i+1 对于一个位于位置i的键来说它的父母将会位于$$\lfloor i/2 \rfloor$$ 如何生成堆 自底向上堆构造（bottom-up heap construction）： 对每个父母节点进行父母优势检查： 从最后的父母节点开始，到根为止，检查这些节点的键是否满足父母优势要求。 如果该节点不满足，就把该节点的键K与它子女的最大键进行交换。 然后再检查新位置上，K是不是满足父母的优势要求。 效率： 最坏情况下，每个位于树第i层的节点都要移动到树的最底层h，因为移动一层需要两次键值比较，因此移动到h层需要 2(h-i) 次键值比较，所以总键值比较次数为： 自顶向下堆构造（top-down heap construction）： 把新的键连续插入到已经预先构造好的堆： 把包含k附加到堆的最后一个叶节点的后面。 拿k与它的父母节点作比较，如果k刚好小于它的父母节点，则算法停止。 否则，交换k和其父母节点的位置 重复2，3步骤直到k不大于它的父母，或者到达了根为止。 效率： 因为包含n个节点的树的高度大约是 log n ,因此每次插入的时间效率属于 O(log n) 总时间效率叠加即可。 二. 堆排序 堆排序的思路很简单： 把数组构造成堆，此时根是最大值。 把根从堆中“移除”，即把...

算法第二弹，归并排序（merge sort）。语言：Javascript。 核心思想： 归并排序的思路还是比较简单的，话不多说，看图： divide阶段：每次把数组一分为二，循环直到每个分组只有一个元素为止。 merge阶段：每次比较两个待合并数组的第一个元素，将较小的元素添加到一个新创建的数组中。接着，被复制数组中的指针后移。再比较两个数组各自的第一个元素……循环直到两个数组中的一个被处理完为止。然后，把未处理完的数组剩下的元素复制到新数组的尾部。看不懂请移步下面的动图。 （下图来自维基百科） 代码 既然已经懂了归并排序的原理。那就可以开始敲代码了。 如果简单粗暴地把归并排序的思想转化为代码，那结果是这样的： 不过理想很丰满，现实很骨感。这种实现方法虽然做到了时间上的高效，但是空间上付出的代价时惨重的。想象一下，假设数组有 n 个元素，那么算法就要递归 log n 次，因为数组的元素个数是不会减少的，也就是每次要额外的 n 个空间来暂时存储划分好的元素。如果你计算的是一个比较大的数组，而你的计算机刚好又是那种内存比较小的……嗯，画面太美我不敢看。 一个好的解决方法是建立一个临时数组，每次递归时，交替使用临时数组和原数组来进行切片，合并，以达到节省空间的目的。（此时空间复杂度为 n）。 可以从两个方向来进行递归。 一个是自顶向下的归并排序（Top-Down)，代码如下。 代码可能有点难理解，看不懂的同学请拿出一张纸，创造一个数组，按着代码步骤一步一步将数组排序。实践出真理。 另一个是自底向上的归并排序（Bottom-Up），代码如下。 效率 空间复杂度 前面已经讲过，所以这里不再赘述。 时间复杂度 计算归并排序的键值比较次数，每做一步，都要进行一次比较，比较之后，两个数组中尚未处理的元素个数减 1 。 最坏情况下，无论哪个数组都不会为空，除非另外一个数组只剩下最后一个元素（也就是连个数组中的元素是按序交错存在的）。当每个数组有 k/2 个元素时，比较的次数为 k-1 （只有最后一个元素不用比较）。所以递归式为 最好情况下，其中一个数组的所有元素都小于另一个数组的最小元素，当每个数组有 k/2 个元素时，键值比较次数为 k/2 ，因此递归式为 ...

最近在学各种排序算法，刚好写成几篇文记录下来，方便以后查看。 快速排序（quicksort）的主要思想就是：选择一个基准元素，把小于基准的元素全部移到左边，大于基准的元素移到右边。然后对左边和右边的元素分别再进行排序，如此循环到每个小分组只剩下一个元素为止。 对元素的划分有两种算法。一个是Lomuto算法。 把第一个元素作为基准元素。从第二个开始遍历余下的元素，a[i]>=p则继续往前走，当遇到一个小于p的元素时，就停下来，将s增加1，再交换a[s]，a[i]的元素。这样就保证比p小的元素永远在左边，比p大的元素永远再右边。 循环结束后，再交换a[s]和a[left]的值。使基准元素成为分界点。 另一个算法是Hoare算法。Hoare就是提出快速排序思想的人，图灵奖得主。 变量i跟踪小于基准的元素，从左到右遍历，遇到大于等于基准的元素就停下来。j跟踪大于基准的元素，从右到左遍历，遇到小于基准的元素就停下来，然后交换a[i]和a[j]。直到i，j相遇。再把基准元素和a[j]交换。比较麻烦的就是每次都要判断i是否溢出。 两个划分算法效率是一样的，个人认为Lomuto算法比较容易理解。 有了划分算法之后，要写快速排序就容易多了。 下面是用js写的原地排序（ in-place） ： 还有另一种比较有js特色的快速排序实现，代码如下： 第二种快速排序实现有一个很大的缺点，就是很耗内存，对一个有n个元素的数组进行排序，每一次递归都要新建两个数组来存放两边的元素，最好情况下递归循环 log n 次，每次需要 n 个元素的空间，因此需要额外 n(log n) 的空间，加上创建数组需要一些额外开销。因此这种方法对于大数组而言就不合适了。 关于快速排序的效率： 最好情况下，每次都刚好平均分为两个相同长度的分组，递归循环 log n 次， 键值比较次数为 C(n)=2*C(n/2)+n,C(1)=0 最坏情况下，每次数组都会分成一边长度为0，一边长度为n-1的两个分组，递归循环  n-1 次，键值比较次数为 n+(n-1)+(n-2)+……+1 平均情况下，键值比较次数约等于 1.39nlog n     所以它们的效率分别是： 关于快速排序的优化： 更好的基准元素选择方...